2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 4회 - [문제 2]
2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형]
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 \(1\)인 정육면체의 모서리 \(AD\) 위에 \(\overline{AP} \le \overline{PD}\)를 만족시키는 점 \(P\)가 있다. 삼각형 \(PBH\)의 넓이가 \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
2-1 삼각형 \(PBH\)의 평면 \(EFGH\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (30점)
2-2 \(3\)개의 바구니 \(X, Y, Z\) 각각에 \(1\)부터 \(n\)까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 공 \(n\)개가 들어 있다. 각 바구니에서 공을 하나씩 꺼냈을 때, \(X, Y, Z\)에서 나온 공에 적힌 세 수를 각각 \(x, y, z\)라 하자. \(x, y, z\)가 삼각형의 세 변의 길이가 되는 모든 순서쌍 \((x, y, z)\)의 개수를 \(A_n\)이라 할 때, \(A_{n+1} - A_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오. (30점)
2-3 함수 \(f(x) = x^{-2/3}(x+1)\)은 \(x>1\)인 범위에서 \(1.9\)보다 작은 최솟값을 갖는다. 이를 이용하여 \(3\)의 배수인 자연수 \(n\)에 대해
\[ \sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k < 1.9^n \]
이 성립함을 보이시오. (40점)